PERSAMAAN DIOPHANTINE
A.
Pendahuluan
Persamaan Diophantine terdiri dari persamaan Diophantine Linier dan
persamaan Diophantine non-Linier.persamaan ini pertama kali ditulis oleh
Diophantus (250 M) didalam bukunya yang berjudul Aritmathica dan buku ini dikenal sebagai buku aljabar yang
pertama kali.
B.
Persamaan Diophantine
Linier
Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah memuat dua
variable,pada umumnya dinyatakan dengan
ax + by = c
Dengan a,b,c 
z
z
Dalil.7.1
Ditentukan a,b,c Z dan d = ( a,b)
Z dan d = ( a,b)
a.
Jika ( a,b) / c maka persamaan
ax + by = c tidak mempunyai penyelesaian
.
b.
Jika ( a,b) / c maka persamaan
ax + by = c mempunyai penyelesaian bulat yang tak hingga banyaknya,yaitu
pasangan ( x,y) dengan :
x = xo +
(b/d )n dan y = yo – ( a/d)n
Dengan n Z dan (xo
,yo ) adalah suatu penyelesaian bulat
Z dan (xo
,yo ) adalah suatu penyelesaian bulat
Contoh soal 7.1
Selesaikan persamaan-persamaan
Diophantine berikut :
a.
4x +5y = 10 
b.
9x +12y =21
c.
4x + 6y = 7
Jawab :
a.
(4,5 ) = 1 10 ,persamaan mempunyai penyelesaian .
(4,5 ) = 1 10 ,persamaan mempunyai penyelesaian .
Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (4,5 ) = 1 maka tentu
ada x1,y1 Z sehingga 4 x1,+
5 y1 = 1
Z sehingga 4 x1,+
5 y1 = 1
Karena 5 = 1.4 + 1 atau 4 (-1) + 5 ( 1) = 1, maka x1= -1 ,y1 = -1
4 (-1) + 5 ( 1) = 1
10 [ 4 (-1) + 5 (
1)] = 10 .1
4 (-10) + 5
( 10) = 10 ( ingat 4x +5y = 10
)
Jadi : xo = -10 dan
,yo = 10
Penyelesaian
Persamaan adalah
x = -10 + 5k dan
y = 10- 4k dengan k 
Z
Z  |
b.
( 9,12
) = 3 10 ,persamaan mempunyai
penyelesaian .
Sesuai dengan Dalil Algoritma Euclides, karena (9,12 ) = 3 maka
tentu ada x1,y1 Z sehingga 9 x1,+
12 y1 = 3
Z sehingga 9 x1,+
12 y1 = 3
Karena 12 = 1.9 + 3 atau 9
(-1) + 12 ( 1) = 3, maka x1=
-1 ,y1 = -1
9 (-1) + 12 ( 1) = 3
7 [ 9 (-1) + 12 (
1)] = 7 .3
9 (-7) + 12
( 7) = 21 ( ingat 9x +12y = 21
)
Jadi : xo = -7 dan
,yo = 7
Penyelesaian
Persamaan adalah
x = xo
+ (b/d )t
= -7 +
( 12 /3 ) t
= -7 + 4t , dengan t Z
Z
y = yo – ( a/d)t
= 7
– (9 / 3)t
= 7 -3t , dengan
t Z
Zc. ( 4,6 ) = 2
, 2 7 ,persamaan tak mempunyai
penyelesaian .
1. CARA REDUKSI
Cara
lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Diophantine Linier adalah mereduksikoefisien
( bukan variabel ) melalui pembagian berulang ( serupa dengan pembagian
Algoritma ) sehingga diperoleh bentuk tanpa pecahan .
Contoh soal 7.2
a.
selesaikan 4x + 5y = 10
dengan cara reduksi .
jawab :
4x + 5y = 10 4x = 10 -5y 
x = 
x = 
x = 
ambil t =
atau 2-y = 4t atau y = 2 -4t dari y = 2- 4t
diperoleh :
atau 2-y = 4t atau y = 2 -4t dari y = 2- 4t
diperoleh :
x =
= 2- (2
-4t) + 
= 4t + t
= 5t
Penyelesaian
persamaan adalah :
x = 0 +5t
y = 2 - 4t
jika dibandingkan dengan penyelesaian pada contoh didepan maka hasil
yang diperoleh nampak berbeda,sebetulnya dua jawaban itu sama
x = -10 + 5k
= 5 (-2
+ k )
=
5t dengan t = -2 + k atau k = t + 2
y = 10- 4k
= 10 -4 ( t + 2 )
=10 – 4t
– 8
= 2 – 4t
Contoh soal 7.3
Selesaikan 3x + 8y = 11 dengan cara reduksi
Jawab :
3x + 8y = 11 3x = 11 -8y 
x = 
x = 
x = 
ambil t =
atau 2-2y = 3t atau 
dari 
atau 2-2y = 3t atau dari 
t = 2u → y = ( 1-
2u) – 4
=
1-3u
x = 3-2y + t
= 3- 2( 1-3u ) + 2u
=1+8u
Penyelesaian
persamaan adalah :
x = 1+8u dan y = 1-
3u
Contoh 7.4
selesaikan x + 2 y + 3 z = 1
dengan cara reduksi
jawab :
x + 2y + 3z = 1 → 2y = - x – 3z + 1
y = 
y = 
t =
2t = - x –z + 1
Z
= -x – 2t + 1
u = x –
2t + 1 → x = - u + 2t
+1
z = x –
2t + 1 → z = u
y = - z
+ t →
y = -u + t
penyelesaian
perrsamaan adalah :
x = - u
+ 2t +1
y = -u + t
z = u
sekedar pengecekan ,dengan mengambil
beberapa pasangan nilai u dan t
dapat diketahui nilai- nilai ( x + 2y + 3z ) sebagai berikut :
u t x 2y 3z x + 2y + 3z
1 1 -2 0 3 1
2 1 -3 -2 6 1
2 3 -7 2 6 1
Dari tabel nilai diatas dapat diketahui bahwa beberapa triple ( x ,y,z) yang memenuhi persamaan adalah ( -2
,0,3), (-3 ,-2 ,6) ,(-7,2,6)
2.CARA KONGRUENSI
Contoh soal :
Selesaikan
persamaan-persamaan Diophantine linier berikut dengan cara kongruensi
a.
2x + 5y = 11
b.
2x + 3y + 7z = 15
c.
6x + 15y = 8
d.
35x + 14y = 91
Jawaban a)
2x +5y = 11→ 5y = 11- 2x
5y 
11 (mod 2)
11 (mod 2)
y 1 (mod 2)
1 (mod 2)
y 1 (mod 2) → y = 1 + 2t
1 (mod 2) → y = 1 + 2t
2x +5y = 11 → 2x = 11 – 5y
2x = 11 –
5 ( 1 + 2t )
2x = 11
-5 -10t
x = 3 – 5t
Penyelesaian
kongruensi adalah
x
= 3 – 5t
dan y = 1 + 2t
sekedar pengecekan ,dengan mengambil
beberapa pasangan nilai u dan t
dapat diketahui nilai- nilai (2x + 5y) sebagai berikut :
t x y 2x 5y 2x + 5y
1 2 1 4 5 11
2 -7 5 -14 25 11
4 -17 9 -34 45 11
Jawaban b)
2x +3y + 7z = 15→ 3y + 7z = 15- 2x
3y + 7z 15 (mod 2)
15 (mod 2)
y + z 1 (mod 2)
1 (mod 2)
y (1- z) (mod 2)
(1- z) (mod 2)
Ambil z = t ,maka
y (1- z) + 2u = (1- t) +
2u
(1- z) + 2u = (1- t) +
2u
y = 2u – t + 1
2x +3y + 7z = 15 → 2x = 15 -3y – 7z
=
15 -6u + 3t -3 – 7t
=-6u
-4t + 12
x = 3u -2t + 6
Penyelesaian kongruensi adalah
x = 3u -2t + 6 dan y = 2u – t + 1
Jawaban c)
6x + 15y = 8 → 6x = 8 – 15y → 6x 8 ( mod 15 )
8 ( mod 15 )
Karena ( 6,8 )
= 2 15 maka kongruensi ini tidak nenpunyai
penyelesaian , berarti pula persamaan
6x + 15y = 8 tidak nenpunyai
penyelesain
Jawaban d)
35x + 14y = 91 → 14y = 91 –
35x → 14y 91 ( mod 35 )
91 ( mod 35 )
14y 21 ( mod 35 )
Karena
( 14 ,21 ) 7 35 , maka kongruensi
mempuyai penyelesaian.
14y
21 ( mod 35 ) → 2y 3 ( mod 7 )
21 ( mod 35 ) → 2y 3 ( mod 7 )
y = 4 +
5t
35x
+ 14y = 91 → 35x + 14( 4 + 5t ) = 91
35x + 56 +
70t = 91
35 x = 35 – 70
t
x = 1- 2t
Penyelesaian persamaan adalah
x = 1-
2t dan y = 4 + 5t
C.
Persamaan Diophantine Non
Linier
1. Triple Phytagoras
Dalil phytagoras menyatakan bahwa
didalam sembarang segitiga siku – siku ,kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi –
sisi yang lain.
Jika suatu segitiga siku-siku mempunyai
sisi miring C maka sisi-sisi yang lain adalah a dan b maka hubungan antara a,b dan c menurut dalil Phytagoras adalah : c2
= a2 + b2. Tiga bilangan bulat positif x , y dan z yang memenuhi hungan dalil
Phytagoras disebut Triple
Phytagoras
Beberapa Triple Phytagoras
3,4,5 sebab
52 = 32+42
5,12,13 sebab 132 = 52 + 122
Definisi 7.4
Suatu tripel Pythagoras
x,y,z disebut primitive Pythagoras jika ( x,y,z) =1
Contoh 7.9
1. triple Pythagoras 3,4,5 adalah primitive Pythagoras sebab (
3,4,5) =1 dan 52 =32+ 42
2. triple Pythagoras 7,24,25 adalah primitive Pythagoras sebab (
7,24,25) =1 dan
252 =72+
242
3. triple Pythagoras 6,8,10 adalah bukan primitive Pythagoras sebab ( 3,4,5) =2 ≠1
Misalkan xo ,yo, zo
adalah suatu primitive Pythagoras maka
zo 2= xo2 +yo2
jika masing- masing dikalikan k maka diperoleh
triple kxo ,kyo, kzo
perhatikan :
zo 2 = xo2
+yo2
k2zo 2= k2xo2
+ k2yo2
(kzo )2
= (kxo ) 2 + (kyo ) 2 → Triple Pythagoras
Misalkan x,y,z
adalah suatu triple Pythagoras dan ( x,y,z) = d maka d x , d y , d
z
d
→ x = d xo→
x2 / d2 z
→ x = d xo→ x2 / d2 z
d
→ y= d yo→
y2 / d2 z
→ y= d yo→ y2 / d2 z
d
→ z = d zo→
z2 / d2 z
→ z = d zo→ z2 / d2 z
x2 + y 2= z2 →
x2 + y 2 / d2 = 
→ 
+
→ +
→ 
→ x02+ y02= z02
x0 ,y0, z0 merupakan
suatu triple pythagoras ,karena 
dan
maka jelaslah bahwa 
,berarti x0
,y0, z0
maka jelaslah bahwa ,berarti x0
,y0, z0
merupakan suatu primitive Pythagoras .
Dalil.7.1
Jika
x,y, z adalah suatu primitive triple Pythagoras
maka ( x, y) = (x,z ) = (y,z ) =1
Dalil. 7.2
Jika x,y, z
adalah suatu primitive triple Pythagoras maka x adalah
suatu bilangan genap dengan y adalah suatu bilangan ganjil atau x adalah suatu bilangan ganjil dan y adalah
suatu bilangan genap
Dalil. 7.3
Jika
x,y, z z maka penyelesaian
primitif :
z maka penyelesaian
primitif :
x2
+ y 2= z2 adalah
x = m2 - n2
y = 2mn dan
z = m2 +n2
yang mana m > n > 0 , ( m,n ) = 1
Contoh 7.10
Carilah
semua triple Pythagoras primitif yang mana selisihnya antara bilangan terbesar
dengan satu dari bilangan yang lain berselisis (berbeda ) k
Jawab
Nilai
–nilai k yang mungkin adalah k merupakan suatu bilangan ganjil atau k merupakan
suatu bilangan genap.
1.k adalah suatu bilangan
gnajil
Jika
x2 + y 2= z2,y adalah suatu bilangan
genap dan z adalah suatu bilangan genap.
Maka
untuk nilai k yang ganjil diperoleh dari selisih bilangan terbesar dengan
bilangan yang genap.
m2 + n2 - k =
2mn
m2 + n2 – 2mn = k
(m – n ) 2 =
k
Jika t = m – n ,maka t2 = k atau
k = t2 dan m = n + t
x = m2 – n2 = ( n + t ) 2 – n2 = n2 + 2t + t2 – n2 = 2nt + t2
= t ( 2n + t)
y = 2mn = 2 (n + t )n
= 2n ( n + t )
z = m + n = ( n
+ t ) 2 + n2 = n2 + 2nt + t2 + n 2
= 2n2 + 2nt + t2
Sebagai contoh nyata untuk k= 9 dan t = 3
dari persamaan
x = t
( 2n + t )
y = 2n ( n + t )
z = 2n2 + 2nt + t 2
Dapat ditentukan bentuk umum triple
Pythagoras yang dicari yaitu :
x = 3
( 2n + 3 )
y = 2n ( n + 3 )
z = 2n2 + 6n + 3
Beberapa
unsure dalam barisan triple Pythagoras yang memenuhi adalah :
( 15,8,17 ) ,( 21,20 ,29 ) ,(27,36 ,45),…..
2) k adalah suatu bilangan
genap.
Jika
x2 + y 2= z2, y adalah suatu bilangan
ganjil dan z adalah suatu bilangan
ganjil
Maka x dan z tentu keduanya merupakan bilangan – bilangan ganjil sehingga k
merupakan selisih ( beda ) antara z dan x
Z
= x + k
m2
+ n2 = m2
- n2 + k
2n2
= k
Ambil
k = 2t2 ,maka 2n2 = 2nt2 sehingga n =
t dengan m adalah sebarang bilangan lebih dari t dan mempunyai paritas yang
berbneda dengan t
Dengan
demikian dapat ditentukan bahwa
X
= m2 - n2 → X
= m2 - t2
Y =
2mn → Y = 2mt
Z
= m2 + n2 →
Z = m2 + t2
Sebagai
peragaan untuk k = 8 bentuk umum triple Pythagoras yang dicari untuk n = t
= 2 adalah :
X
= m2 – 4
Y
= 4m
Z
= m2 + 4
Beberapa
unsure dalam barisan triple Pythagoras yang meemnuhi adalah ( 5,12,13 ) ,(
21,20 ,29 ) ,(45,28 ,53)
Contoh 7.11
Carilah
semua tiple Pythagoras yang membentuk suatu barisan aritmatika
Jawab
Misalkan
x, y, z adalah triple Pythagoras yang membentuk
barisan aritmatika maka tentu ada bilangan bulat yang positif sehingga:
(y – t) 2 + y2 = (y + t) 2 → t : beda barisan
y2 – 2yt + t 2+
y2 = y 2 + 2yt + t2
y2 = 4yt
y2 – 4yt = 0
y ( y-4t) = 0 → y = 0 atau y = 4t
karena
y = 0 tidak menghasilkan triple Pythagoras ,maka y = 4t sehingga
x = y – t = 4t – t = 3t
z = y + t = 4t + t = 5t
y = 4t
jadi
bentuk umum triple Pythagoras yang dicari adalah ( 3t, 4t ,5t ) sehingga
barisan yang dicari adalah :
(
3,4,5), ( 6,8,10) , (12,16 ,20)
Contoh 7.12
Selesaikan
persamaan x 2+ y2
= z4 dalam bentuk triple
Pythagoras
Jawab
:
x 2+ y2 = z4 → x 2+ y2 = (z2) 2
ini berarti bahwa ada m,n z, m> n sehingga :
z, m> n sehingga :
z2
= m2 + n2 , x = m2 – n2 dan y = 2mn
dengan
m = r2 – s2 , n = 2rs ,dan z = r 2+ s 2
berikutnya dapat dicari nilai –nilai x ,y dan
z :
x = m – n
=
(r – s) – (2rs) = r – 2rs + s – 4rs
x = 
y = 2mn
= 2( r2 – s2 )2rs = (2r2
-2s2 ) 2rs
y = 4rs (r2 – s2
)
z = r 2+ s2
Bebrapa
unsur dari barisan penyelesaian diperoleh dengan mengambil ( r,s) = 1 r > s >
0 dan r mempunyai paritas yang berbeda dengan s
r
s x = y = 4rs (r2
– s2 ) z = r 2+
s2
y = 4rs (r2
– s2 ) z = r 2+
s2
2
1 7 24 25
3 2 119 120 169 4 1 161 240 289
4 3 527 336 625
Beebrapa
unsur barisan penyelesaianya adalah :
(
7,24,25), ( 119,120,169) , (161,240 ,289), ( 527, 336,625 )
Dalil 7.4
Jika
x,y,z N dan ( x,y,z) = 1
maka persamaan x2 + y2
= z2 mempunyai penyelesaian :
N dan ( x,y,z) = 1
maka persamaan x2 + y2
= z2 mempunyai penyelesaian :
X = 
Y = 2rs
Z
= 
Dalil 7.5
Jika x,y,z N dan ( x,y,z) = 1
maka persamaan x2 + y2
= 2z2 mempunyai penyelesaian :
N dan ( x,y,z) = 1
maka persamaan x2 + y2
= 2z2 mempunyai penyelesaian :
X = r2
– s2 + 2rs
Y
=
Z = r2 + s2
Dalil .7.6
Jika
y dan z adalah bilangan –bilangan genap maka penyelesaian persamaan :
x2
+ y2 + z2 = t2
,adalah :
y = 2p
z = 2q
Dengan
p , q N , r < ( p2 + q2 ) dan 
N , r < ( p2 + q2 ) dan
SOAL – SOAL PERSAMAAN
DIOPHANTINE
2.
selesaikan persamaan – persamaan linier Diophantine :
a.
3x + 2y + 7z = 15
b.
3x + y -z = 5
c.
4x +2y +3z = 5
d.
5x + 2y – z = 12
e.
x - 3y + 2z = 7
f.
3x +-3y + 9z = 10
3.selesaikan
persamaan – persamaan linier Diophantine :
a.
7x + 5y + 6z = 173
3x + 17y + 4z = 173
b.
5x +2y + 3z = 324
-4x + 6y + 14 = 190
c.
x + y + z = 100
6x + 21y
+ z = 121
d.
x + y + z = 4
9y + 5z + 6y = 18
JAWABAN
2.) Jawaban a)
3x + 2y + 7z = 15
2y = 15 – 3x – 7z
y = 14 + 1 – 2x – x – 6z – z
2
y = ( 7 – x – 3 z ) + 
t =
→ 2t = 1 – x – z
→ 2t = 1 – x – z
z = 1- x – 2t
u = 1-x -2t → x = 1- 2t – u
z
= 1- x – 2t → z = u
y = ( 7 – x – 3 z ) + t
y = ( 7 –(1- 2t – u )– 3 u) + t
y = ( 7 –1+ 2t + u – 3 u + t
y = 6 + 3t – 2u
Penyelesaian persamaan adalah
x = 1- 2t – u
y
= 6 + 3t – 2u
z = u
sekedar pengecekan ,dengan mengambil
beberapa pasangan nilai u dan t
dapat diketahui nilai- nilai ( 3x + 2y + 7z ) sebagai berikut :
u t x y z 3x + 2y + 7z
1 1 - 2 7 1 15
2 1 -3 5 2 15
1
0 0 4 1 15
Jawaban b)
3x + y -z = 5
3x = 5 – y +z
x = 3 +2 – y + z
3
x = 1 + 
t = → 3t = 2 – y + z
→ 3t = 2 – y + z
z = 3t – 2 + y
u = 3t – 2 + y → y = u – 3t + 2
z
= 3t – 2 + y → z = u
x = 1
+
x = 1+ t
Penyelesaian persamaan adalah
x = 1+ t
y = u – 3t + 2
z = u
sekedar pengecekan ,dengan mengambil
beberapa pasangan nilai u dan t
dapat diketahui nilai- nilai (3x + y -z ) sebagai berikut :
u t x y z 3x + y - z
1 1 2 0 1 5
2 1 2 1 2 5
1 0 1 3 1 5
Jawaban c)
4x +2y + 3z = 5→ 3y + 7z = 5- 2x
4x + 3z 5 (mod 2)
5 (mod 2)
2x + z 1 (mod 2)
1 (mod 2)
z (1- 2x) + 2u
(1- 2x) + 2u
Ambil x = t ,maka
z (1- 2x) + 2u
(1- 2x) + 2u
z = 1-2t + 2u
substitusi nilai x dan z ke persamaan
4x +2y
+ 3z = 5
4t +2y + 3(1-2t + 2u) = 5
4t
+ 2y + 3 – 6t +6u = 5
2y
= 5 + 2 – 6u – 3
2y
= 2 + 2t – 6u
y
= 1 + t – 3u
Penyelesaian kongruensi adalah
x = t
y = 1 + t
– 3u
z = 1-2t + 2u
sekedar pengecekan ,dengan mengambil
beberapa pasangan nilai u dan t
dapat diketahui nilai- nilai ( 4x + 2y - 3z ) sebagai berikut :
u t x y z 4x + 2y -3z
1 1 1 -1 1 5
2 1 1 -4 3 5
1
0 0 -2 3
5
Jawaban d)
5x + 2y -z = 12
2y = 12 – 5x + z
y = 12 – 4x – x
+ z
2
Y = ( 6 – 2x ) + 
t = → 2t = z – x
→ 2t = z – x
z =2t + x
u = 2t + x
→ x = u - 2t
z
= 2t + x → z =
u
y = ( 6 – 2x ) + t
y = 6 – 2( u – 2t ) + t
y = 6 – 2u + 4t +t
y = 6 – 2u + 5t
Penyelesaian persamaan adalah
x = u - 2t
y = 6 – 2u + 5t
z = u
sekedar pengecekan ,dengan mengambil
beberapa pasangan nilai u dan t
dapat diketahui nilai- nilai ( 5x + 2y – z
) sebagai berikut :
u t x y z 5x + 2y -z
1 1 - 1 9 1 12
2 1 0 7 2 12
1
0 1 4 1 12
Jawaban e)
x -3y +2z = 7
2z = 7 – x + 3y
z = 6
+1 –x + 2y +y
2
z = ( 3 +y ) + 
t = → 2t = 1- x + y
→ 2t = 1- x + y
y = 2t + x - 1
u = 2t + x - 1 → x = u
– 2t + 1
y = 2t +
x – 1 → y = u
z
= ( 3 +y ) +
z
= ( 3 +y ) + t
z
= (3 +u ) + t
z = 3 + u + t
Penyelesaian persamaan adalah
x = u – 2t + 1
y = u
z = 3 + u + t
sekedar pengecekan ,dengan mengambil
beberapa pasangan nilai u dan t
dapat diketahui nilai- nilai ( x - 3y + 2z ) sebagai berikut :
u t x y z x -3y + 2z
1 1 0 1 5 7
2 1
1 2 6 7
1
0 2 1 4 7
Jawaban f)
2x - 3y +9z = 10
2x = 10 +3 y -9z
x = 10 +2y + y -8-z
2
x = ( 5 + y – 4z ) + 
t = → 2t = y - z
→ 2t = y - z
z = y –
2t
u = y – 2t → y = u +
2t
z
= y – 2t → z = u
x = ( 5 + y – 4z ) +
x = ( 5 + y – 4z ) + t
x
= ( 5 + u + 2t – 4u ) + t
x = 5 + 3t – 3u
Penyelesaian persamaan adalah
x = 5 + 3t – 3u
y = u + 2t
z = u
sekedar pengecekan ,dengan mengambil
beberapa pasangan nilai u dan t
dapat diketahui nilai- nilai ( 2x - 3y + 9z ) sebagai berikut :
u t x y
z 2x -3 y + 9z
1 1 5 3 1 10
2 1 2 4 2 10
1
0 2 1 1 10
3.)
jawaban : a)
7x + 5y + 6z = 173→ 7x + 6z = 173- 5y
2x + z 
3 (mod 5)
3 (mod 5)
z 
(3- 2x) + 5u
(3- 2x) + 5u
Ambil x = t ,maka z (3- 2x) + 5u
(3- 2x) + 5u
z = 3-2t + 5u
substitusi nilai x dan z ke
persamaan
7x +5y + 6z = 173
7t + 5y + 6(3-2t + 5u) = 173
7t + 5y + 18 – 12t +30u = 173
5y
= 155 + 5t – 30 u
y = 31 + t - 64
3x + 17y + 4z = 510
3t + 17 (31 + t -
64 ) + 4 (3-2t + 5u) = 510
3t + 527 + 17t –
102u + 12 – 8t + 204 = 510
12t – 82u + 539 =
510
12t – 82u = 510 –
539
82u 29 + 12t
29 + 12t
82u 29 ( mod 12 )
29 ( mod 12 )
10u 5 + 12 r
5 + 12 r
10u 5 ( mod 12 )
5 ( mod 12 )
12r -5 ( mod 12 )
-5 ( mod 12 )
2r 5 ( mod 10 )
5 ( mod 10 )
10r 5 (mod 2) →tidak dapat
diselesaikan
5 (mod 2) →tidak dapat
diselesaikan
sehingga
persamaan Diophantine diatas tidak dapat diselesaikan
jawaban : b)
·
5x +2y + 3z = 324
5x + 3z 
324 ( mod 2 )
324 ( mod 2 )
x + z 0 ( mod 2 )
0 ( mod 2 )
x 0 – z ( mod 2)
0 – z ( mod 2) 
x – z + 2u
ambil
z1 = t
x1 = -t + 2u
 |
2y = 324 -5x -3z
2y = 324 -5( -t +2t ) -3z
2y = 324 -5t -3t – 10u
2y = 324 +2t -10u
y1 = 162 +t -5u
 |
·
-4x + 6y + 14 = 190
6y + 14z 190 ( mod 4 )
190 ( mod 4 )
2y + 2z 2 ( mod 4 )
2 ( mod 4 )
2y 2 – 2z ( mod 4)
2 – 2z ( mod 4) 
y 1-z + 2u
ambil
z2 = t
y2 = 1- t + 2u
 |
4x = 6y + 14 z – 190
4x = 6(1- t + 2u ) + 14t – 190
4x = 6- 6t + 12u + 14t – 190
4x = 8t + 12u – 184
x2 = 2t + 3u – 46
 |
dari
persamaan x, y dan z diatas maka dapat ditentukan
·
x1 = x2
-t + 2u = 2t + 3u – 46
-3t – u = -46
……………………………………………….(1)
·
z1 = z2 = t
·
y1 = y2
162 +t -5u = 1- t
+ 2u
-2t + 7u = 161 ………………………………………………(2)
eliminasi
persamaan 1 dan 2
-3t – u = -46 x 7
-2t + 7u
= 161 x 1
- 21t – 7u
= -322
-2t + 7u
= 161 +
-23t = -161
t = 7
- Substitusi t ke persamaan ( 1)
-3t – u = -46
-21 –u = -46
u = 25
- Substitusi nilai u dan t kepersamaan x , y dan z
Maka akan didapat :
x = -t + 2u
= -7 + 2 ( 25)
= 43
y = 1-t + 2u
= 1-7 + 2 ( 25)
= 44
z = 7
Jadi himpunan penyelesaiannya dalah :
Hp = { ( 43,44 ,7)}
jawaban : c)
x + y + z = 100→ x + y = 100- z
x + y 100 (mod 1)
100 (mod 1)
x (0- x) + u
(0- x) + u
Ambil y = t ,maka x (0- y) + u
(0- y) + u
x = -t + u
substitusi nilai x dan z ke
persamaan
x +y +
z = 100
z = 100
– x – y
z = 100 + t – u – t
z = 100 – u
6x + 21y + z =
121
6(- t + u ) +
21t + (100-u) = 121
-6t + 6u + 12t +100 – u = 121
15t + 5u + 100 = 121
15 t + 5u = 21
15t = 21 ( mod 5 ) → tidak dapat diselesaikan
sehingga
persamaan Diophantine diatas tidak dapat diselesaikan
jawaban : d )
·
9y + 5z +
6w = 18
9y + 6w 18 ( mod 5 )
18 ( mod 5 )
4y + w 3 ( mod 5 )
3 ( mod 5 )
w 3– 4y ( mod 5)
3– 4y ( mod 5) w 3 -4y +5 u
ambil y1 = t
w1 = 3 -4t +5 u
|
5z = 18 -9y – 6w
5z = 18 -9t – 6(3 -4t +5
u)
5z = 18 -9t – 18 +24t -30 u)
5z = 15t – 30u
z1 = 3t – 6u
|
·
x + y + z + w = 4
x + y + w 4 ( mod 1 )
4 ( mod 1 )
x + y + w 0+u
0+u
x +w = u-y
x = u-y -w
x = u – t – 3 + 4 t – 5u
x = -4u + 3t -3
ambil
y2 = t
x2 = -4u + 3t -3
w2 = 3 -4t +5 u
|
z = 4 – x – y – w
z = 4 + 4u -3t
+ 3 –t -3 + 4t -5u
 |
z2 = 4-u
 |
dari
persamaan x, y dan z diatas maka dapat ditentukan
·
z1 = z2
3t – 6u= 4-u
3t – 5u = 4 ……………………………………………….(1)
·
y1 = y2 = t
·
w1 = w2
3 -4t +5 u
-4t +5 u
= -3………………………………………………(2)
- eliminasi persamaan 1 dan 2
3t – 5u =
4
--4t +5 u
= -3 +
- t = 1
t = -1
- Substitusi t ke persamaan ( 1)
3t – 5u = 4
3(1) – 5u = 4
-3 – 5u = 4
-5u = 7
u = 
- Substitusi nilai u dan t kepersamaan x , y dan z
Maka akan didapat :
x = -4u + 3t -3
x = -4( -7/5) + 3(-1) -3
= 
y = t
y = -1
z = 4-u
z = 4-(-7/5)
z = 
w = 3 -4t +5 u
w = 3 -4(-1) +5 (-7/5)
= 3 +4 -7
= 0
Jadi himpunan penyelesaiannya dalah :
Hp = { (,-1, ,0 )}
,-1, ,0 )}
Tidak ada komentar:
Posting Komentar